定積分

出自教學卓越計畫

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定積分的概念

定積分定義

定積分是在作積分運算時，定義其積分範圍，即有其上限與下限值。例如，

${A}\int^{sinH} _0\frac{1}{\sqrt{1-{x^2}}}\,dx={AH}$

其中， $b$ 是上限， $a$ 是下限， $F'(x) = f (x)$ 。

f(x)是F(x)的導數函數，F(x)是f(x)的原函數。定積分通常可以用來計算不規則圖形的面積或體積。

定積分存在定理

若函數 $\begin{matrix}f(x)\end{matrix}$ 在 $\begin{matrix}[a,b\end{matrix}$ 上定積分存在，那是必符合下面2個條件

$\begin{matrix}f(x)\end{matrix}$ 在區間 $\begin{matrix}[a,b]\end{matrix}$ 上連續
$\begin{matrix}f(x)\end{matrix}$ 在區間 $\begin{matrix}[a,b\end{matrix}$ 上有界，且在 $\begin{matrix}[a,b]\end{matrix}$ 內有有限個不連續點

範例影片：定積分的定理

定積分的基本性質

(1).函數的代數和的定積分等於他們的定積分的代數和

$\begin{matrix} \int ^b _a [f(x) \pm g(x)]dx = \int ^b _a f(x)dx \pm \int ^b _a g(x)dx \end{matrix}$

(2).被積分函數的常數可以提到積分外面

$\begin{matrix} \int ^b _a kf(x)dx = k \int ^b _a f(x)dx \end{matrix}$

(3).積分區間的可加性

$\begin{matrix} \int ^b _a f(x)dx = \int ^c _a f(x)dx + \int ^b _c f(x)dx \end{matrix}$

定積分的近似計算法

矩形法

把積分區間[a,b]分為長度相等的子區間，當子區間數適當大時，黎曼積分與定積分直非常接近，這就是所謂的矩形法。

以下面曲線圖為例

右邊為矩形法分割圖

利用矩形法將於原曲線分割成十個矩形

矩形公式

$\begin{matrix} \int ^b _a f(x) dx \approx f(x_0) \triangle x + f(x_1) \triangle x + \cdots + f(x_{n-1}) \triangle x \end{matrix}$

$\begin{matrix} = \triangle x [ f ( x _0 ) + f ( x _1 ) + \cdots + f ( x _{x-1} ) ] \end{matrix}$

$\begin{matrix} = \frac{b-a}{n} [ f ( x _0 ) + f ( x _1 ) + \cdots + f ( x _{x-1} ) ] \end{matrix}$

範例影片：定積分的近似計算法-矩形法

梯形法

跟矩形法相同分成長度相同的子區間，用梯形代替矩形作為曲線面積的近似面積。

同樣以下面曲線圖為例

右邊為梯形法分割圖

利用梯形法將於原曲線分割成十個梯形

梯形公式

$\begin{matrix} \int ^b _a f(x) dx \approx \frac{1}{2} [ f(x_0) + f(x_1) ] \triangle x + \frac{1}{2} [ f(x_1) + f(x_2) ] \triangle x + \cdots + \frac{1}{2} [ f(x_{n-1}) + f(x_n) ] \triangle x \end{matrix}$

$\begin{matrix} =\frac{ \triangle x }{2} [ f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + 2f(x_n) ] \end{matrix}$

$\begin{matrix} =\frac{ b-a }{2n} [ f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots + 2f(x_{n-1}) + 2f(x_n) ] \end{matrix}$

範例影片：定積分的近似計算法-梯形法

廣義積分

積分區間為無限

設函數 $\begin{matrix}f(x)\end{matrix}$ 在區間 $\begin{matrix} [ a , + \infty ) \end{matrix}$ 上連續，取 $\begin{matrix} b > a \end{matrix}$

如果極限 $\lim _{b \rightarrow +\infty} \int ^b _a f(x)dx$ 存在

則此函數 $\begin{matrix}f(x)\end{matrix}$ 在無窮區間 $\begin{matrix} [ a , + \infty ) \end{matrix}$ 上的廣義積分，記為 $\begin{matrix} \int ^{+ \infty} _a f(x) dx \end{matrix}$ ，

反之若函數 $\begin{matrix}f(x)\end{matrix}$ 在區間 $\begin{matrix} (-\infty , b ] \end{matrix}$ 上連續，取 $\begin{matrix} a < b \end{matrix}$

如果極限 $\lim _{a \rightarrow -\infty} \int ^b _a f(x)dx$ 存在

則此函數 $\begin{matrix}f(x)\end{matrix}$ 在無窮區間 $\begin{matrix} (-\infty , b ] \end{matrix}$ 上的廣義積分，記為 $\begin{matrix} \int _{- \infty} ^b f(x) dx \end{matrix}$

範例影片：廣義積分-ex1

被積函數有無窮不連續點

當定義被積分函數 $\begin{matrix}f(x)\end{matrix}$ 在積分區間內有無窮不連續點時， $\begin{matrix}f(x)\end{matrix}$ 在 $\begin{matrix} [a,b] \end{matrix}$ 上除一點外連續 $\begin{matrix} x=c \end{matrix}$ ，而 $lim_{x \rightarrow c} f(x)= \infty$