數列與級數

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數列

  • 概念

數列是一組按順序排列的數，記為｛an｝，即a1, a2, a3, ……。稱a1為數列的“第一項”，a2是“第二項”，等等。數列中數的總數為數列的“項數”，項數有限的數列為“有限數列”，項數無限的數列為“無限數列”。 特別地，數列是一種特殊的函數，它的自變量為自然數集或其子集。


  • 極限

數列｛an｝當n無限增加時，若｛an｝趨近一個固定值時，則表示此數列為收斂，反之若沒有極限，則稱之為發散。

例子

(1)數列\begin{matrix}1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , \frac{1}{4} , \frac{1}{5} , \cdots , \frac{1}{n} \end{matrix} ，當n趨近無限大時，該數列的終值趨近於零，因此該數列為收斂。

(2)數列\begin{matrix}1 , 2 , 3 , 4 , 5 , \cdots , n \end{matrix} ，當n趨近無限大時，該數列的值會無限增大，因此該數列為發散。

範例影片：數列

級數

  • 無窮級數

設\begin{matrix} (a_n) \end{matrix}是一個無窮數列 ︰\begin{matrix} a_1, a_2, a_3, ...a_n, ... \end{matrix}

其前n項的和稱為\begin{matrix} \sum a_n \end{matrix}的部分和︰\begin{matrix} S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n \end{matrix}

由此得出另一個無窮數列︰\begin{matrix} s_1, s_2, s_3, ...s_n, ... \end{matrix}

這兩個數列合稱為一個級數，記作\sum a_n或者\sum_{n=1}^\infty a_n

如果當n趨近於正無窮大時，\begin{matrix} s_n \end{matrix}趨向一個有限的極限︰s=\lim_{n\to\infty}s_n，那麼這個無窮級數就叫做是收斂的，當極限不存在，這個無窮級數就是發散的。

只有收斂的無窮級數存在一個和s。

範例影片：無窮級數


(1) 條件收斂

一數列為\begin{matrix} a_1, a_2, a_3, ...a_n, ... \end{matrix}

此級數為\sum_{n=1}^\infty a_n

當該級數為發散，若將各項加上絕對值，形成\sum_{n=1}^\infty |a_n|，則為收斂，此級數就稱為條件收斂

範例影片：條件收斂

(2) 絕對收斂

一數列為\begin{matrix} a_1, a_2, a_3, ...a_n, ... \end{matrix}

此級數為\sum_{n=1}^\infty a_n

當無論是否該級數各項加上絕對值，都為收斂狀況，此級數就稱為絕對收斂

範例影片：絕對收斂


  • 正項級數

正項級數為各項的數都為正的，無負的項數，即在級數 \sum_{n=1}^\infty a_n ，所有的\begin{matrix} a_n \end{matrix}都大於零

範例影片：積分檢定


(1) 比較判別法(互比檢定)

有兩個正項級數分別為 \sum_{n=1}^\infty a_n 和 \sum_{n=1}^\infty b_n

  1. 當 a_n \leq b_n 時，且 \sum_{n=1}^\infty a_n 收斂，則 \sum_{n=1}^\infty b_n 也會收斂
  2. 當 a_n \geq b_n 時，且 \sum_{n=1}^\infty a_n 發散，則 \sum_{n=1}^\infty b_n 也會發散


範例影片：比較判別法、互比檢定


(2) 比值判別法(比例檢定)

有兩個正項級數分別為 \sum_{n=1}^\infty a_n 和 \sum_{n=1}^\infty b_n ，且 \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=X ， ( b_n \neq 0 )

  1. 當 X \geq 0 時，且 \sum_{n=1}^\infty a_n 收斂，則 \sum_{n=1}^\infty b_n 也會收斂
  2. 當 0 < X \leq + \infty 時，且 \sum_{n=1}^\infty a_n 發散，則 \sum_{n=1}^\infty b_n 也會發散


範例影片：比值判別法、比例檢定


(3) 根式判別法(根式檢定)

有一正項級數為\sum_{n=1}^\infty a_n，若\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} 存在且值為\begin{matrix} P \end{matrix}則

  1. 當\begin{matrix} P<1 \end{matrix}時，表示該級數收斂
  2. 當\begin{matrix} P>1 \end{matrix}時，表示該級數發散
  3. 當\begin{matrix} P=1 \end{matrix}時，表示根式判別法無法使用


範例影片：根式檢定

交錯級數

級數中，正數項與負數項交互出現的級數，例如

(1) \begin{matrix} 1+( - \frac{1}{2} )+ \frac{1}{3} + ( - \frac{1}{4} ) + ... + (-1)^{n-1} \frac{1}{n} + ... \end{matrix}

(2) \begin{matrix} (-1)+2+(-3)+4+...+(-1)n+... \end{matrix}

P級數

P級數形式為1 + \frac{1}{2^P} + \frac{1}{3^P} + \frac{1}{4^P} + \frac{1}{5^P} + ... +\frac{1}{n^P}，P \neq 0

當\begin{matrix} P=1 \end{matrix}時，會是調和級數1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... +\frac{1}{n}

P級數的斂散性

當\begin{matrix} P>1 \end{matrix}時，此級數會是收斂

當0 < P \leq 1時，此級數會是發散

範例影片：P級數

取自"http://eid.niu.edu.tw/niuwiki/index.php/%E6%95%B8%E5%88%97%E8%88%87%E7%B4%9A%E6%95%B8"
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